Rot (toán tử) – Wikipedia tiếng Việt

Trong giải tích vectơ, toán tử rot là một toán tử vectơ mô tả
độ xoáy của một trường vectơ. Tại bất kì điểm nào trên trường vectơ, rot được biểu thị
bằng một vectơ. Các thuộc tính của vectơ này (độ dài và hướng) nói lên bản chất của độ xoáy
tại điểm đó.

Hướng của rot là trục xoay, định bởi luật bàn tay phải, và độ lớn của rot là độ lớn của
mức độ xoáy. Nếu trường vectơ tượng trưng cho vận tốc chảy của một chất lỏng đang lưu
chuyển, thì rot sẽ là mật độ xoáy của chất lỏng đó. Một trường vectơ với rot bằng zero
được gọi là không xoáy.

Thuật ngữ khác được dùng là "rotor" hay "rotational" và các ký hiệu khác ${displaystyle operatorname {rot} mathbf {F} }$ và ${displaystyle nabla times mathbf {F} }$ cũng thường
được sử dụng cho "rot" và
${displaystyle operatorname {rot} mathbf {F} }$.

Rot của một trường vectơ F, ký hiệu là ${\displaystyle \mathrm{rot}<!--\; \; -->\mathbf{F}}$ hay ${displaystyle nabla times mathbf {F} }$, tại một điểm được định nghĩa bởi:^[1]

${\displaystyle (\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{F})\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{n}}\stackrel{\underset{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{}}{=}\underset{A\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{{\text{∮<!-- ∮ -->}}_C<!--\; \; -->\mathbf{F}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{r}}{A}}$

Hướng của vector của tích phân đường

Ở đây ${\displaystyle {\text{∮<!-- ∮ -->}}_C<!--\; \; -->\mathbf{F}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{r}}$ là tích phân đường dọc theo biên của vùng đang xét (i.e., ${displaystyle C=partial {mathcal {A}}}$), và ${displaystyle ,A}$ là diện tích của ${displaystyle {mathcal {A}}}$. Nếu ${displaystyle mathbf {hat {nu }} }$ là vectơ bán kính nằm trong mặt phẳng, mà ${displaystyle mathbf {hat {n}} }$ là vectơ đơn vị vuông góc với mặt phẳng (xem hình bên), thì hướng của C được chọn sao cho vectơ ${displaystyle mathbf {hat {omega }} }$ tiếp tuyến với C được định hướng dương nếu và chỉ nếu ${displaystyle {mathbf {hat {n}} ,mathbf {hat {nu }} ,mathbf {hat {omega }} }}$ tạo thành một hệ tọa độ dương trong R³ (quy luật bàn tay phải).

Công thức trên nghĩa là rot của một trường vecto được định nghĩa như là mật độ lưu chuyển của trường
đó. Theo đó

${\displaystyle (\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathbf{F}){}_3=\frac{1}{{\mathrm{a}}_1{\mathrm{a}}_2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{a}}_2{\mathrm{F}}_2)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{u}}_1}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{a}}_1{\mathrm{F}}_1)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{u}}_2}\right).}$

Nếu ${displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ là tọa độ Cartesian và ${displaystyle (u_{1},u_{2},u_{3})}$ là tọa độ curvilinear, thì ${displaystyle a_{i}={sqrt {sum limits _{j=1}^{3}left({frac {partial x_{j}}{partial u_{i}}}right)^{2}}}}$ là độ dài của vectơ tọa độ tương ứng với ${displaystyle u_{i}}$. Hai thành phần còn lại của rot có thể tính từ phép hoán vị chỉ số: 3,1,2 -> 1,2,3 -> 2,3,1.

Diễn giải theo trực giác[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử trường vectơ mô tả trường vận tốc của một dòng chảy (có thể là trong một bồn chứa nước lớn hay
bồn khí) và một quả bóng nhỏ được đặt trong chất lỏng hay khí (tâm của quả bóng được gắn chặt vào
một điểm nào đó). Nếu mặt quả bóng xù xì, nó sẽ xoay bởi chất lỏng chảy qua nó. Trục quay (theo quy tắc
bàn tay phải) sẽ chỉ hướng của rot của trường vecto tại tâm của quả bóng, và vận tốc góc sẽ bằng phân nửa giá trị của rot tại điểm đó.

Ngay cả khi các dòng chảy là song song, quả bóng có thể bắt đầu xoay nếu chất lỏng bên này chảy nhanh hơn bên kia.

Trong thực tế, định nghĩa trên ít được dùng vì trong tất cả mọi trường hợp, toán tử rot có thể được đơn giản hóa ngay trong cả trường hợp tọa độ curvilinear.

Ký hiệu ${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}$ mặc dù không chính xác nhưng là dạng thường được sử dụng như là một dạng gợi nhớ trong tọa độ Cartesian nếu ta xem ${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}$ là một toán tử vi phân vectơ del hoặc nabla.

Khai triển trong tọa độ Cartesian ${displaystyle {vec {nabla }}times {vec {F}}}$ là, cho F gồm 3 thành phần [F_x, F_y, F_z]:

mà trong đó i, j, và k là vectơ đơn vị của trục x-, y-, và z. Công thức này được khai triển ra như sau:^[2]

${displaystyle left({frac {partial F_{z}}{partial y}}-{frac {partial F_{y}}{partial z}}right)mathbf {i} +left({frac {partial F_{x}}{partial z}}-{frac {partial F_{z}}{partial x}}right)mathbf {j} +left({frac {partial F_{y}}{partial x}}-{frac {partial F_{x}}{partial y}}right)mathbf {k} }$

Mặc dù được viết dưới hệ tọa độ, kết quả là không thay đổi nếu thay đổi hệ trục tọa độ nhưng kết quả sẽ nghịch đảo qua phép đối xứng.

Trong ký hiệu Einstein, với ký hiệu Levi-Civita rot được viết là:

${displaystyle ({vec {nabla }}times {vec {F}})_{k}=epsilon _{kell m}partial _{ell }F_{m}}$

hay là:

${displaystyle ({vec {nabla }}times {vec {F}})={boldsymbol {hat {e}}}_{k}epsilon _{kell m}partial _{ell }F_{m}}$

với các vecto đơn vị:${displaystyle {boldsymbol {hat {e}}}_{k}}$, k=1,2,3 tương ứng với ${displaystyle {boldsymbol {hat {x}}},{boldsymbol {hat {y}}}}$, và ${displaystyle {boldsymbol {hat {z}}}}$.

===Một trường vector đơn giản===E=Xo(2x^2+3)-Yo(3y^3-4)+Zo(z+2)

Ví dụ khó hơn[sửa | sửa mã nguồn]

Hằng đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Xét ví dụ ∇ × [ v × F ]. Sử dụng tọa độ Cartesian, ta có

${displaystyle mathbf {nabla times } left(mathbf {vtimes F} right)=left[left(mathbf {nabla cdot F} right)+mathbf {Fcdot nabla } right]mathbf {v} -left[left(mathbf {nabla cdot v} right)+mathbf {vcdot nabla } right]mathbf {F} }$.

1. ^ “curl”. Wolfram MathWorld. Truy cập ngày 1 tháng 7 năm 2008. 
   


2. ^ Arfken, p. 43.
   

• Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (ngày 21 tháng 6 năm 2005). ISBN 978-0120598762.


• Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. tr. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.